这种处理是近似的，因为弧弦逼近只是二维意义下对曲线的逼近，而刀具和工件都是三维体，正确的逼近误差应以三维刀具在零件面上的*大切深/欠切来表示。影响其大小的因素如下<2，3>：（1）零件表面的局部几何形状；（2）刀具的形状、尺寸和刀轴控制方式；（3）刀具在曲面上的走刀路线；（4）走刀进给步长；（5）多轴情况下，旋转或摆动机构的结构型式与尺寸。
三坐标一般刀具加工非线性误差分析与走刀步长理论刀具轨迹<4>三轴加工理论刀具轨迹在三轴加工情况下，刀具轴线指向不变，刀具运动是平行于z轴的平动，在一般刀具运动描述下，刀具-曲面啮合关系如所示。设r（s）为曲面上任一条曲线（s为弧长参数），以刀具轴上的m点作为确定刀具运动的基准点（刀位点），则刀具沿r（s）进行切削的理论刀具轨迹rm（s）为rm（s）=r（s）+R1n（s）+（R2+R1）nxy（s）/nxy（s）式中n（s）为切削点处的曲面单位法矢nxy（s）为在xoy平面上的分量2.2非线性误差的计算表达式如所示，设r0、r1为曲线r（s）上的两点，其中r0处弧长参数s=0，r1处弧长参数为s1，记rm0和rm1分别为对应刀位点，且刀具在该两点间作线性插补运动。线性插补过程中，对任意啮合点rs（其弧长参数为s，对应理想刀位为rms），由于插补直线偏离理论轨迹，从法向加工考虑，插补直线上对rs具有*大过切或欠切的对应刀位rls可用下述方法确定。
设过曲线rm（s）上的rms点且平行于过rs点并沿rs方向的法面的平面为平面Ⅱ，rls以平面Ⅱ与直线rl（t）的交点进行近似估计。
三轴加工非线性形误差描述直线rl（t）的方程为rl（t）=rm0+t（rm1-rm0）0≤t≤1平面Ⅱ的方程为（r-rms）rs=0设rls对应的参数为ts，则rs=0（1）将rm1和rm2均在rm0点展开，即rm1=rm0+rm0s1+12rm0s21+…rms=rm0+rm0s+12rm0s2+…
将其代入（1）式得ts=（rm0s+12rm0s2）rs（rm0s1+12rm0s21）rs（2）因为rm=rs+R1n+（R2-R1）nxy/nxy所以rm0=r0+R1n0+（R2-R1）（nxy/nxy）′rm0=r0+R1n0+（R2-R1）（nxy/nxy）″又rs=r0+sr0r0=r0=knn=-kn-gvn=-kn-gv-（k2n+2g）n（nxy/nxy）′=（1-n2z）nxy+nznznxy（1-n2z）3/2=-kn（1-n2z）1/2xy-g（1-n2z）1/2vxy-（knz+gvz）nz（1-n2z）3/2nxy（nxy/nxy）″=（1-n2z）2nxy+2（1-n2z）nznznxy+（nznz-n3znz+n2z+2n2zn2z）nxy（1-n2z）5/2=2nz（knz+gvz）kn（1-n2z）3/2xy+2nz（knz+gvz）g（1-n2z）3/2vxy+（n2z-1）（k2n+2g）+（2n2z+1）（knz+gvz）2（1-n2z）5/2nxy式中a（ax，ay，az），v（vx，vy，vz），n（nx，ny，nz）为曲面在r0处的局部坐标系axy，vxy，nxy分别为xoy坐标平面上的分量kn，g分别为曲面在点r0沿a方向的法曲率和短程挠率将上述各项代入（2）式并忽略高阶小量得ts≈{1-R1-（R2-R1）<（1-n2z）-1/2（nxy+gvxy）+（1-n2z）-3/2nz（knz+gvz）nxy>}s{1-R1-（R2-R1）<（1-n2z）-1/2（nxy+gvxy）+（1-n2z）-3/2nz（knz+gvz）nxy>}s1≈s/s1即rls=rm0+（s/s1）（rm1-rm0）≈rm0+srm0+（1/2）ss1rm0（3）由可见，实际位置rls与理想位置rms的位置偏差rlsrms=（1+2），其中2平行于rs处的法矢ns，其大小以1∶1比例产生法向加工误差；1平行于rs处的切平面为误差非敏感方向，所引起的加工误差属高阶小量，相对2引起的误差可忽略，故rls处刀具在rs点的法向加工误差为≈2=rlsrmsns（4）因为rlsrms=rms-rls=0.5（s2-sls）rm0rm0=r0+R1n+（R2-R1）（nxy/nxy）″=-R1kna-R1gv+n+（R2-R1）2nz（knaz+gvz）kn（1-n2z）3/2axy+2nz（knaz+gvz）g（1-n2z）3/2vxy+（n2z-1）（k2n+2g）+（2n2z+1）（knaz+gvz）2（1-n2z）5/2nxyns≈（n+sn）/n+sn=（-knsa-gsv+n）/1+（k2n+2g）s=<1-0.5（k2n+2g）s2>（-knsa-gsv+n）将其代入（4）式并忽略高阶小量得=0.5（s2-sls）{kn-R1（k2n+2g）+（R2-R1）<（n2z-1）（k2n+2g）+（2n2z+1）（knaz+gvz）2+2nz（knaz+gvz）（naxyn+gvxyn）>/（1-n2z）3/2}（5）走刀步长估计对（5）式右端弧长参数求导，并令′=0，则s=s0。5时取极值。即线性插补段内法向加工误差的*大值
max为max=（s21/8）{-kn+R1（k2n+2g）-（R2-R1）/（1-n2z）3/2}（6）（6）式从三维意义上表达了三坐标一般刀具加工时由于线性逼近时所形成的实际加工误差，该误差的影响因素包括曲面形状、刀具参数和走刀进给方向（反映在局部坐标系以及沿进给方向法曲率和短程挠率的变化），结果比目前CAD/CAM中使用的二维弧弦逼近方法确切。
结束语走刀步长的合理确定是曲面加工中一个基本而重要的问题。本文得出的三坐标加工非线性误差表达是三维意义下较严格的刀具包络成型误差，其大小在曲面法向定义，综合考虑了零件表面的局部几何形状、刀具形状尺寸与刀轴控制参数、走刀进给方向的影响，改进了目前CAD/CAM中普遍采用的二维弧弦逼近的近似表达，可适用于多种类型刀具，具有较好的通用性。
