1设计方法
1.1实验设计方法及响应面近似模型的建立
实验设计方法是用来研究设计参数对模型设计状况影响的一种取样策略。实验设计是构建近似模型过程中的重要环节，决定了构造近似模型所需样本点的个数和这些点的空间分布情况。
文中采用中心复合设计法（CCDs）进行实验设计，该方法*早由Box和Wilson于1951年提出。由于这种设计方法具有序贯性、预测效率较高等特点，在实际设计中已得到广泛应用。采用中心复合设计法能够在提供较少的实验次数下，充分考虑实验设计变量之间的相互影响关系。
近似模型通过数理统计和实验设计的方法，在设计变量和响应之间建立一种函数关系，用来近似复杂的实际问题。常用的近似模型有多项式响应曲面、径向基函数模型、Kriging模型等。响应面法是用于处理多变量问题建模和分析的一套统计处理方法，能够在不确定数据集趋向于何种曲线时，对整个数据集进行整体的拟合，能够很好地解决在多个设计变量同时作用下目标的优化问题。因此文中选择建立响应面近似模型进行优化求解。
1.2优化流程
优化流程图如1所示，首先根据实际问题确定设计变量及其变化空间，利用中心复合设计法进行实验设计，根据实验设计结果进行样本点采集；然后对各组样本集合进行有限元分析，得到结构的响应。通过拟合设计变量和系统响应之间的函数关系建立二阶响应曲面，在响应面上进行寻优求解。通过自由随机法，根据建立的多目标优化问题的数学模型，在整个二阶响应曲面上初步寻找*优解，再以自由随机法寻找的*优解为新的样本空间，利用遗传算法反复迭代求解，进行进一步的寻优，验证*优解的真值。如果满足精度要求，优化求解过程结束，如果不满足则修正响应曲面进一步迭代求解。响应曲面的精度直接影响结果的优劣，文中要求拟合的近似模型的误差值在1%以内。
1.3多目标优化问题的处理方法
在优化设计中经常遇到的是多目标优化问题。对于多目标优化的处理方法，主要有评价函数法、分层求解法、目标规划法。评价函数法借助构造某种适当的评价函数，将多目标问题转化为单目标问题来求解。
折衷法是评价函数的一种处理方法，它的基本思想是设计者选取多目标中的一个作为目标函数进行优化，而把其他目标函数视作可以变通的约束，设置一个不希望超过或小于的值，把多目标问题转化为单目标问题进行优化。
文中采用折衷法对床（）身结构进行优化设计，优化模型为：
max k（1）s.t.
f－［f］［f］≤εX l i≤X i≤X u i（i = 1，2，…，n）
式中：ε???在优化过程中允许床身基频的改变量；k???机床刚度；［f］???原床身结构的基频；f???优化后床身结构的基频；X i???设计变量；X u i，X l i???设计变量的上下限。
式（1）表明寻求设计变量X i（i = 1，2，…，n）的*优值，使结构在基频接近原结构的约束条件下，结构刚度*大。
1.4优化算法
遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和进化发展起来的高度并行、随机、自适应搜索算法。它使用了群体搜索技术，将种群代表一组问题解，通过对当前种群施加选择、交叉和变异等一系列遗传操作，产生新一代的种群，并逐步使种群进化到包含近似*优解的状态。利用遗传算法求解优化模型能够解决任意维数函数的组合优化问题，能够找到响应面中的全局*优解，同时遗传算法能够很好地解决离散变量的问题。遗传算法求解流程图如2所示。
2算例
2.1研究对象
某型号外圆磨床床身由灰铸铁铸造而成。床身长2 900 mm、宽1 170 mm、高707 mm，壁厚15 mm.前床身上有V－平型导轨，导轨总长2 800 mm，前床身内部有8块横隔板和1块水平横向筋板。后床身分别有2块横、纵隔板。床身内部的横隔板厚度为15 mm，床身底面由11块垫铁支撑。原床身上设置了多个出砂孔，有限元分析结果显示原床身结构的刚度为1.64×10 5N/mm，基频为212.8 Hz.为了进行优化设计，将床身内部的出砂孔全部填上，设计初始模型对其进行有限元分析，床身刚度为1.68×10 5N/mm，基频为214 Hz.
2.2设计变量
床身内部横隔板的间距（x 1，x2，x 3，x 4），横隔板的厚度x 5及垫铁的间距（x 6，x7，x8）为设计变量，研究它们对床身结构性能的影响，设计变量如4所示。
2.3优化求解
利用所示的优化过程进行优化求解，各变量的设计空间如所示。利用中心复合设计法生成81组实验设计所需的设计变量的样本点，利用有限元法分析每组设计变量与基频、刚度响应之间的关系。借助*小二乘法，根据实验设计的结果，分别构造基频和刚度与设计变量之间的二阶响应曲面，两个响应曲面的*大相对残差分布为0.61%和0.74%，因此近似模型满足精度的要求，能够代替实际模型进行优化求解。采用折衷法按照式（1）进行多目标优化问题处理，利用遗传算法对优化问题进行求解。
设计变量的设计空间设计变量/mm取值范围/mm初始值/mm x 1 200～400 250 x 2 400～600 575 x 3 700～1 100 950 x 4 200～400 250 x 5 12～15 15 x 6 700～1 200 873 x 7 700～900 870 x 8 200～900 500
2.4优化结果
优化后的结果如2所示，刚度由原来的1.68×105 N/mm增加到1. 73×105N/mm，上升了3.04%，基频由原来的214 Hz减小到212.8 Hz，降低了0.56%.
2优化前后床身结构动静态性能比较设计变量/mm优化前优化后刚度/（N/mm）基频/Hz优化前优化后优化前优化后x 1 250 345 x 2 575 441 x 15 x 500 213
3拓扑优化
床身结构需要在合理的位置开出砂孔，一方面方便铸造过程的出砂，另一方面也可减轻床身质量。出砂孔的位置必须保证在开孔后，结构的刚度和基频满足床身的设计要求。结构拓扑优化能在给定的空间结构中形成合理的材料分布。文中采用密度法对床身结构进行优化设计，以得到合理的出砂孔位置。人为引进了一种假想的密度可变材料，每个单元的伪密度为设计变量，将结构拓扑优化问题转化为材料*优分布设计问题，应用优化准则法求解材料*优分布。拓扑优化数学模型为：max K（2）s.t 0＜βi≤1 M≤M limit式中：K???刚度；βi???单元i的伪密度；M???结构扑优化后的质量；M lmit???设定的优化后结构质量。
设定优化后床身质量下降10%，运用密度法对床身结构进行拓扑优化，优化后的拓扑图如所示。图中灰色代表床身材料可以删除的地方，但灰色材料仅仅表示理论上可以删除，到底是否删除该处材料需要结合床身结构的实际需要。如床身油箱地方材料虽可以删除，但不能通过开孔删除，可以选择减小壁厚的方法，达到减轻质量的目的。而一些结构通过拓扑图显示材料要保留，但实际床身结构需要开一些孔，只能适当地删除一些材料来满足实际的要求。结合床身结构拓扑图和床身结构的实际需要，在床身内部水平横隔板和床身底面开出适当的出砂孔，并减小床身底面壁厚，床身结构删除材料后的结构如6所示。
对优化后的结构进行有限元分析，优化后床身结构性能如所示。床身结构的刚度为1.74×10 5N/mm，比原床身结构的刚度值大了1×10 4N/mm，增加了5.8%.虽然基频为204.5 Hz，比原床身结构的基频下降7.3 Hz，但整个床身质量由原来的1 496.6 kg降到1 424. 3 kg减轻了4.83%.
3拓扑优化前后床身结构性能比较床身结构刚度/（N/mm）基频/Hz质量/kg优化前1. 64×10 5 212.8 1 496.6优化后1. 74×10 5 205.5 1 424.3变化量5.8%（+）3.43%（－）4.83%（+）注：+表示上升；－表示下降
4结语
采用实验设计和近似模型方法对床身内部横隔板间距、横隔板的厚度、垫铁位置进行了优化设计。在确定了横隔板间距和垫铁位置及横隔板厚度后，采用密度法对床身结构进行拓扑优化设计，确定了合理的出砂孔位置。研究表明：这样的优化策略不仅可有效地提高床身的机械性能，并且有较高的设计效率。以某型号磨床床身为例对所提出的方法进行了验证。优化后床身结构刚度增加了5.8%，床身质量减轻了4.83%.
